NombreJador

Les trix

Un trix est un nombre qui s'écrit avec le chiffre '4' et les 8 opérations suivantes E = { +, -, x, /, √, ab, !, [x] }

Rappel
√4 = 2
23 = 2x2x2 = 8
5! = 5x4x3x2x1 = 120
[7,1485] = 7 ; [x]=partie entière de x (l'entier immédiatement avant x)

par ex:
\[ \frac{4!(4+\sqrt{4})}{4+4!} - 4^{\sqrt{4}} \]





NOTE:
-Les parenthèses '(', ')' sont autorisées , c'est juste pour la visibilité des lectures.
-Les écritures 44, 444, 4444, ... ne sont pas autorisées

La fabrication des trix ressemble beaucoup à la construction des nombres
constructibles, des radicaux, des propositions (en logique) ...

En effet au départ on a un petit ensemble A, et les opérations E, puis on construit des ensembles de plus en plus grands à partir de ces opérations avec des nombres déjà construits

Par exemple pour les nombres constructibles on a:
A = {1} ensemble de départ
E = { +, -, x, /, √ } opérations
Et l'ensemble qu'on obtient c'est les nombres constructibles (à la règle et au compas) !!!
par ex:
(1+√5)/2

Pour les radicaux on a:
A = {1} ensemble de départ
E = { +, -, x, /, n√ = racine n-ième } opérations
Et l'ensemble qu'on obtient c'est les radicaux, les solutions des équations-polynomiales résolubles !!!
par ex:
\[ \sqrt[3]{1-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{1+\sqrt{5}} \]


Pour les propositions on a:
A = {p,q,r,...} ensemble de départ (infini)
E = { ⌉ , Λ , V , → , ↔ } opérations
Et l'ensemble qu'on obtient c'est l'ensemble des propositions (en logique).
par ex :
(p → q) → ⌉r

On a

\[ \sqrt{4} = 4^{(\frac{1}{2})} \]
\[ \sqrt{\sqrt{4}} = 4^{(\frac{1}{2^2})} \]
\[ \sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}} = 4^{(\frac{1}{2^n})} \]
il y a n racine √ , d'où
\[ \ln(\sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}}) = \ln 4^{(\frac{1}{2^n})} \]
\[ \ln(\sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}}) = \frac{1}{2^n}\ln 4 \]
\[ \frac{\ln(\sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}})}{\ln 4} = (\frac{1}{2})^n \]
\[ \ln_{4}(\sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}}) = 2^{-n} \]

\[ \ln(\ln_{4}(\sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}})) = -n \ln \sqrt{4} \]


On a donc

\[ n = -\ln_{\sqrt{4}}(\ln_{4}(\sqrt{...\sqrt{\sqrt{4}}})) \]

Autrement dit , tout entier n s'exprime avec trois symboles
E={-, √, ln } et trois '4'
Par exemple, pour n = 4 on a une jolie identité
\[ 4 + \ln_{\sqrt{4}}(\ln_{4}(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}}})) = 0 \]
et pour n = 1

\[ 1 + \ln_{\sqrt{4}}(\ln_{4}(\sqrt{4})) = 0 \]
avec la relation d'Euler

\[ \ 1 + e^{i\pi} = 0 \]
on en déduit

\[ e^{i\pi}=\ln_{\sqrt{4}}(\ln_{4}(\sqrt{4})) \]

Les quatrix
Un quatrix est un trix de longueur quatre ( quatre chiffres '4')
Voici les quatrix de 0 à 10

0 = 4 - 4 + 4 - 4
1 = 4/4 + 4 - 4
2 = 4/4 + 4/4
3 = √4 + √4 - 4/4
4 = √4 + √4 + 4 - 4
5 = √4 + √4 + 4/4
6 = 4 + √4 + 4 - 4
7 = 4 + √4 + 4/4
8 = 4 + 4 + 4 - 4
9 = 4 + 4 + 4/4
10 = 4 + 4 + 4/√4

Problème : Quels sont les nombres qui s'expriment par les quatrix ?

Donner une liste des quatrix de 0 à 100 .


Les quatrix nobles :

Un quatrix noble est un quatrix qui ne contient pas d'opération [√√4]

il est parfois difficile de savoir si un nombre est un quatrix noble ou non ?
par ex: 33, 41, 51 , 113, 157, 347, ... sont ils nobles ?

Il est vraiment étonnant que i²=-1 , π et le nombre d'or Φ soient des quatrix

\[ i = \sqrt{\sqrt{4} + 4/4 - 4} \]
\[ \pi = 4 ((\frac{\sqrt{4}}{4})!)^{\sqrt{4}} \]
\[ \Phi = \frac{[√√4]+\sqrt{[√√4]+4}}{\sqrt{4}} \]

Il existe un seul groupe simple à 168 éléments. et l'ordre maximal d'un élément du groupe du Rubik's Cube est 1260, tous les deux sont des quatrix !

168 = (4 + 4 - [√√4])4! ==> 168 est-il noble ?

\[ 1260 = (\frac{4!+4}{4})! /4 \]