Les carrées magiques
Publié : mar. 7/01/2025 13:31
Les carrées magiques
On remplit des nombres 1, 2, 3,.., n dans un carré. Un carré magique est un carré tel que la somme des lignes, des colonnes et des diagonales est constante S. Pour calculer la somme S c'est facile, on additionne les lignes ça donne d.S (où d est la dimension du carré): d'un autre côté c'est la somme 1+2+3+...+n (tous les nombres sont dans le carré) donc
dS = 1+2+3....+n
mais
1+2+3+...+n = n(n+1)/2 d' où
dS = n(n+1)/2 or n=d² d' où
S = d(d²+1)/2
par ex pour d = 3 ===> S = 15
d = 5 ===> S = 65
On a un algorithme pour construire un carrée magique de dimension d = 2k+1 impair
Algorithme
1. Mettez 1 dans le milieu de la 1er ligne
2. Monter en diagonal vers le haut-droite
3. Quand on est bloqué, descendre une case
4. Quand on sort:
par le haut ===> allez vers le bas
par la droite ===> allez vers la gauche
par le diagonal ===> fais comme si on est bloqué
Ex
d = 3 , S = 15
8 1 6
3 5 7
4 9 2
d = 5 , S = 65
17 24 01 08 15
23 05 07 14 16
04 06 13 20 22
10 12 19 21 03
11 18 25 02 09
On remplit des nombres 1, 2, 3,.., n dans un carré. Un carré magique est un carré tel que la somme des lignes, des colonnes et des diagonales est constante S. Pour calculer la somme S c'est facile, on additionne les lignes ça donne d.S (où d est la dimension du carré): d'un autre côté c'est la somme 1+2+3+...+n (tous les nombres sont dans le carré) donc
dS = 1+2+3....+n
mais
1+2+3+...+n = n(n+1)/2 d' où
dS = n(n+1)/2 or n=d² d' où
S = d(d²+1)/2
par ex pour d = 3 ===> S = 15
d = 5 ===> S = 65
On a un algorithme pour construire un carrée magique de dimension d = 2k+1 impair
Algorithme
1. Mettez 1 dans le milieu de la 1er ligne
2. Monter en diagonal vers le haut-droite
3. Quand on est bloqué, descendre une case
4. Quand on sort:
par le haut ===> allez vers le bas
par la droite ===> allez vers la gauche
par le diagonal ===> fais comme si on est bloqué
Ex
d = 3 , S = 15
8 1 6
3 5 7
4 9 2
d = 5 , S = 65
17 24 01 08 15
23 05 07 14 16
04 06 13 20 22
10 12 19 21 03
11 18 25 02 09