NombreJador

Dans l'écriture "1 + 1 = 2" sous entendu que 1, 2 sont des entiers naturels et que l'addition est en base 10.
Pour démontrer "1 + 1 = 2" il faut savoir ce que c'est les quatre symboles "1","2","+","=" , les définitions de ces symboles .

--> "=" dans le sens égal usuel.
--> Pour les autres symboles il faut revenir au début de l'arithmétique, càd la construction de N, l'ensemble des entiers naturels.

On suppose donc de connaitre N et ses propriétés,
on rappelle ici seulement les propriétés dont on a besoin.

(N,+)
* Il existe un élément particulier nommé zéro et noté 0, 0∈N
* Une fonction s de N dans N nommée successeur vérifiant les propriétés suivantes:

A) s: N -> N ;s=fonction successeur
a -> s(a)

A1: 0 n'est successeur de personne (tous les autres sont des successeurs de quelqu'un)
A2: s(a) = s(b) => a = b ;s est injectif

L'addition est défini récursivement par s
B) addition +
B1: a + 0 = a
B2: a + s(b) = s(a + b)

============
définition: 1 = s(0), 2 = s(1), 3 = s(2), ...

1 + 1 = 2
démo :
1 + 1 = 1 + s(0) ;déf de 1
or
1 + s(0) = s(1+0) ;B2
s(1 + 0) = s(1) ;B1
s(1) = 2 ;déf de 2
d'où
1 + 1 = 2