11
MAR
2013
Commentaire
Géométrie analytique
Translation
Une translation est une application de \(\mathbb{P}\) dans \(\mathbb{P}\), elle se définit ainsi
translation t de vecteur \(\overrightarrow{u}=(a,b)\)
t: \(\mathbb{P}\) -> \(\mathbb{P}\)
M -> t(M)=M' ; par définition:
\(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}\)
l'expression analytique
\(
\begin{cases}
x'=x+a \\
y'=y+b
\end{cases}
\)
Homothétie
Une homothétie est une application de P dans P, elle se définit ainsi
homothétie h de centre A(a,b), de rapport k
h: \(\mathbb{P}\) -> \(\mathbb{P}\)
M -> h(M)=M' ; par définition:
\(\overrightarrow{MM'}=k\overrightarrow{AM}\)
l'expression analytique
\(
\begin{cases}
x'=k(x-a) \\
y'=k(y-b)
\end{cases}
\)
Symétrie centrale
Une symétrie centrale est une application de P dans P, elle se définit ainsi
symétrie s de centre A
s: \(\mathbb{P}\) -> \(\mathbb{P}\)
M -> s(M)=M' ; par définition:
\(\overrightarrow{MM'}=-\overrightarrow{AM}\)
l'expression analytique
\(
\begin{cases}
x'=-(x-a)+a \\
y'=-(y-b)+b
\end{cases}
\)
Rotation
Une rotation est une application de P dans P, elle se définit ainsi
rotation r de centre A, d'angle θ
r: \(\mathbb{P}\) -> \(\mathbb{P}\)
M -> r(M)=M' ; par définition:
AM'=AM et \(\widehat{(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})}\)=θ
son expression analytique est
\(
\begin{cases}
x'=(\cos\theta).x - (\sin\theta).y + u \\
y'=(\sin\theta).x + (\cos\theta).y + v
\end{cases}
\)
pour trouver u,v on écrit que le centre A est invariant r(A)=A
Réflexion
Une réflexion (symétrie orthogonale) est une application de P dans P, elle se définit ainsi
réflexion s d'axe Δ
s: \(\mathbb{P}\) -> \(\mathbb{P}\)
M -> s(M)=M' ; par définition:
Δ=médiatrice [MM']
son expression analytique est
\(
\begin{cases}
x'=ax + by + u \\
y'=bx - ay + v
\end{cases}
\)
avec a² + b² = 1 et pour trouver u,v on écrit que l'axe Δ est invariant s(A)=A A∈Δ