L' espace affine

Difficulté: 4.7/20 facile

L' espace affine, définition 1

Dans le plan \(\mathbb{P}\) on a des points, A, B, C .... mais il n'y a pas d' opérations sur les points, or on aimerait bien faire des calculs dans \(\mathbb{P}\) ...

Soient E un espace vectoriel et \(\mathbb{P}\) le plan tel que , à partir de deux points (A,B) , on puisse fabriquer un seul vecteur \(\overrightarrow{u} \) unique
\((A,B) \; -> \; \overrightarrow{u} \) (vecteur \(\overrightarrow{u}\) unique)
Comme \(\overrightarrow{u}\) dépend de A, B on peut noter \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\)
et la règle de fabrication doit vérifier 3 axiomes suivants:

où A,B,C ∈\(\mathbb{P}\), \(\overrightarrow{u} \)∈E
\(A1.\; \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\)
\(A2.\; \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \) relation de Chasles
\(A3.\; \forall A,B \; \exists ! \overrightarrow{u} \;tel \;que \; \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \)

REMARQUE IMPORTANT:
1) Il est possible de fabriquer \(\overrightarrow{u} \) à partir de plusieurs couples de points (A,B) , (C,D) ... mais c'est le même vecteur \(\overrightarrow{u} \) qu'on trouve
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \;et\; \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{u}\)
on dira que les couples (A,B) et (C,D) sont équipollents
2) \(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\) et la relation de Chasles sont des axiomes donc on ne les démontre pas !!!
3) L'axiome A3 , signifie qu'il y a un seul "chemin" \(\overrightarrow{u} \) pour aller de A à B, donc si on part de A et on suit le chemin \(\overrightarrow{u} \) on tombe forcement sur B.

Exemples

Avec notre plan traditionnel \(\mathbb{P}\) muni un repère, voici la règle de fabrication des vecteurs: A=(x_A,y_A) , B=(x_B,y_B)
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A) \)
Ainsi on pourrait faire des calculs dans \(\mathbb{P}\) (\(\mathbb{P}\) muni un repère)

Quelles propriétés, et les règles de calculs

\(1. \; \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0} \;=>\; A=B\)
En effet \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0} \) signifie (d'après A3) qu'on part de A et on suit \(\overrightarrow{0}\), on arrive forcement à B
Mais d'après A1 on arrive aussi à A donc B=A !!!

\(2. \; \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\)
en effet
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA} \;(A2)\) or
\(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} \) d'où
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\)
ça signifie que \(\overrightarrow{BA}\) est l'opposé de \(\overrightarrow{AB}\)

\(3. \; \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC} \;=>\; B=C\)
en effet
\(-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0} \)
\(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0} \;=>\; C=B \)

\(4. \; \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \;=>\; \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} \)
en effet
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\) je coupe \(\overrightarrow{AB}\) en \(\overrightarrow{AC}\), puisque je veux \(\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\) je coupe \(\overrightarrow{CD}\) en \(\overrightarrow{BD}\), puisque je veux \(\overrightarrow{BD}\), d'où
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} \)

\(5. \; \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \) ABCD parallélogramme
\(6. \; \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC} \) où k∈\(\mathbb{R}^*\) ; les points A,B,C sont alignés

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DMJ: 19/01/2025