Les Groupes

Difficulté: 4.7/20 facile

Les groupes

Soit G un ensemble muni une loi notée '.' , on dit que (G,.) forme un groupe si:
la loi '.' vérifie 4 propriétés suivantes:
1. c'est une loi interne
2. avoir un élément neutre e : e.a = a.e = a
3. tout élément a possède une symétrique a' : a.a' = a'.a = e
4. (a.b).c = a.(b.c) associativité

De plus si on a:
- a.b = b.a on dit qu'on a un groupe commutative ou abélien

parfois on note l'élément symétrique a' par a^-1 et l'élément neutre e par 1 c'est pratique car on a
a.a^-1 = 1 c'est plus parlant que a.a'=e et puis si il n'y a pas d'ambiguité on peut supprimer carrement '.' pour aller plus vite: a.b = ab
traditionnellement quand la loi '.' est commutative on la note '+' et la symétrique a' de a sera notée -a, l'élément neutre e sera noté 0, mais n'oubliez pas que ce sont des simples notations

Exemples

Le plus simple est: (Z,+)
- (Q*, x)
- (R,+)
- (S_n,o)
- (Z_p,+) ; le groupe modulo p, p=premier
- (M₂,x) ; le groupe des matrices inversibles d'ordre 2
etc ...

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DMJ: 21/01/2025