Arithmétique

L' Arithmétique dans un anneau

Préface

Dans \(\mathbb{N}\) on a la notion des nombres premiers et le théorème de la décomposition: Tout entier naturelle se décompose de façon unique en produit des nombres premiers.
Tout celà s'étend de façon naturelle dans \(\mathbb{Z}\) de la façon suivante:
1. Les nombres premiers: p et -p sont des nombres premiers dans \(\mathbb{Z}\) (on ajoute les opposés des nombres premiers de \(\mathbb{N}\)).
2. Le théorème de la décomposition:
Tout entier n se décompose de façon "unique" en produit des nombres premiers.
unique au sens suivant:
n = p₁p₂... p_k
n = q₁q₂q₃ ... q_m
alors m=k (même longueur) et q=p ou q=-p (on peut toujours trouver un inversible u pour passer à q: q=up)

A partir de \(\mathbb{Z}\) , on voudrait s'étendre la notion des nombres premiers et le théorème de la décomposition dans un anneau quelconque A.

Analyse

Voyons de plus prés le problème
Soit p un nombre premier (dans \(\mathbb{Z}\)) et on a deux propriétés suivantes qui sont équvalantes
U: p|ab ⇒ p|a ou p|b
V: p = ab ⇒ a=unité ou b=unité (unité de \(\mathbb{Z}\) = 1,-1)
Dans \(\mathbb{Z}\) on a: U ⇔ V
Malhereusement dans un anneau quelconque on a seulement U ⇒ V
On voit bien qu'il faut exiger la propriété V plutôt que U, car U est trop fort et l'anneau A ne pourrait pas remplir la condiction. Donc on a deux notions:

1. Les p qui vérifient U on les appelle premier
2. Les p qui vérifient V on les appelle irréductible

Donc dans un anneau quelconque A, la notion premier sera remplacée par irréductible , et le TD (théorème de la décomposition) s'énnonce ainsi
Tout élément de A se décompose de façon "unique" en produit des nombres irréductibles.
unique au sens suivant:
n = p₁p₂... p_k
n = q₁q₂q₃ ... q_m
alors m=k (même longueur) et q=up (on peut toujours trouver un inversible u pour passer à q: q=up)
Autrement dit toutes les décompositions ont la forme:
n = up₁p₂... p_k avec u un unité
on est en présence la même situation que 2/3, 4/6, 6/9, ... qui repésentent le même nombre rationnel.
Mais l'existance des éléments irréductibles dans A n'est pas intéressant en soi, ce qui est intéressant c'est le théorème de la décomposition !! Dans les anneaux qui possèdent ce théorème on a irréductible = premier. Ces anneaux se nomment factoriel !!!

En résumé:
1.Dans un anneau A on parle des éléments irréductibles p (p=ab ⇒ a=unité ou b=unité)
2.Les anneaux où le TD est valable se nomment factoriel.
TD (Théorème de la décomposition):
n = up₁p₂... p_k avec u un unité
Finalement pour faire de l'arithmétique ca serai bien si on est dans un anneau factoriel où on a: irréductible = premier

Anneau intéressant

Anneau des entiers Soit d un entier, d∈\(\mathbb{Z}\) sans facteur carré

• d=3 , 4 (mod 4) A_d = \(\mathbb{Z}\)(√d) = { x = a+b√d a,b ∈\(\mathbb{Z}\)}
• d=1 (mod 4)
  \( A_d=\mathbb{Z}( \frac{1+\sqrt{d}} {2} ) = \{x = \frac{a+ b\sqrt{d}}{2} \} \) a,b∈\(\mathbb{Z}\) même parité

Une question se pose naturellement: pour quelle valeur de d l'anneau A_d est factoriel ?

Quelques propriétés de A_d
Norme de x = a+b√d a,b∈\(\mathbb{Q}\) : N(x)=a²-db²

• x=unité ⇔ N(x) = 1,-1
• N(x)=p (premier) ⇒ x=irréductible

Une propriété cruciale

Mais la vraie question n'est pas d'avoir le théorème de la décomposition, mais d'avoir la propriété suivante:
E: ab = cⁿ et (a,b)=1 ⇒ a = (us)ⁿ et b = (vt)ⁿ où u,v sont des unités
bien sûr si on a le théorème TD on a la propriété E, On cherche donc dans quel anneau on a la propriété E? mais pourquoi cherche-t-on la propriété E ? et bien cela provient de la recherche de solutions des équations diophantiennes
par exp:

x³ + y³ = z³
y² = x³ - 1
y² = x³ - 2
y² = x³ - 4

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DMJ: 15/01/2025