L' espace affine

L'espace affine, définition 2

Soient E^• un ensemble de points A,B,C, ...et E un espace vectoriel \( \overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{w} ... \)
(E,+) le groupe addition des vecteurs. On dit que E^• est un espace affine sur E, si (E,+) agit simplement transitif sur E^• , càd E^• possède une loi '•' externe :

E^• x E -> E^•
\( (A,\overrightarrow{u}) -> A•\overrightarrow{u}=B \)
vérifiant les axiomes suivantes:
\(A1: A•\overrightarrow{0}=A \)
\(A2: (A•\overrightarrow{u})•\overrightarrow{v} = A•(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \)
\(A3: \forall A,B \; \exists ! \; \overrightarrow{u} \;tel \;que \; A•\overrightarrow{u}=B \)

\( A•\overrightarrow{u}=B \) ==> traditionnellement on note : \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \)

On retrouve la définition 1
\( A1: A•\overrightarrow{0}=A ==>\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} \)

\(A2: A•\overrightarrow{u} = B ==> \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \)
\( B•\overrightarrow{v} = C ==> \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v} \)
\((A•\overrightarrow{u})•\overrightarrow{v} = C \)
\( A•(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = C \)
\( A•(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) = C \)
\( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \)

\( A3: \forall A,B \; \exists ! \; \overrightarrow{u} \;tel \;que \; A•\overrightarrow{u}=B \)
\( A•\overrightarrow{u}=B ==>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u} \)

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DMJ: 19/01/2025