L' espace affine

Exercices

1. On donne 3 points non allignés A,B,C constuire le point M tel que
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC} \)

Solution
Le point M apparait plusieurs fois dans l'égalité, l'idée c'est de faire apparaitre M en une seule fois, càd exprimer M en fonctions de A,B,C qui sont les données du problème.
On va donc couper \(\overrightarrow{BM}\) en \(\overrightarrow{AM}\)
\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM} \)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC} \)
\(\overrightarrow{AM}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})/2 \)

2. Même question: contruire M tel que
\(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC} \)

Solution
On va donc couper \(\overrightarrow{BM}\) en \(\overrightarrow{AM}\)
\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM} \)
\(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC} \)
\(\overrightarrow{AM}=(\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB})/5 \)

3. ABC un triangle on a la relation suivante:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI} \)
Où I est le milieu de [BC], en effet
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC} \)
Comme I = mil[BC]

\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \)
d'où
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI} \)

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DMJ: 19/01/2025